Белов В.Н.  М. Гарднер – корифей занимательной математики. 

                                                                                                                                9 стр.

Множество мифов и историй витает вокруг имени Мартина Гарднера, изобретателя занимательных задач, математических развлечений, игр и фокусов. Почти четверть века его творче­ство не переставало восхищать любителей игр всего мира. На­ибольшую аудиторию составляли подписчики журнала «Scienti­fic American», входившем в русском переводе под названием «В мире науки», в котором с 1957 по 1981 г. он был постоянным ведущим раздела занимательной математики. М. Гарднером написано более 30 книг, различных по тематике и содержанию, не считая сотен статей в математических журналах, журналах для фокусни­ков, научно-популярных публикаций.

Читатели старшего поколения должны помнить серию пере­ведённых на русский язык замечательных книг Гарднера. В 1990 году  вышла ещё одна - «Путешествие во времени». Ставшие почти библиографической редкостью, многие из этих книг бережно сохраняются, многократно перечитываются и состав­ляют «золотой фонд» домашних собраний литературы по играм. Тем, кто пока не держал их в руках, стоит отправиться в ближайшую библиотеку. Но прежде чем домашние тапочки сменит уличная обувь, несколько слов о Гарднере, жизненный путь которого не менее удивителен, чем его творчество,  пред­ставляющее собой непредсказуемое единение случайного и законо­мерного.

Он родился в 1914 г. в Талсе, штат Оклахома. Одно из самых ярких воспоминаний его детства связано с поиском ока­меневших доисторических ракушек, которые вместе с отцом, геологом по образованию, они собирали для коллекции Смитсоновского института. Разнообразие причудливых форм, слов­но вылепленных по математическому шаблону, гармония со­четания живой материи с неживой природой пленяли всепроникающими законами геометрии. Воодушевленный интересным преподаванием математики в школе, Мартин решил посещать курс Чикагского университета. Здесь строгое религиозное ми­ровоззрение, заложенное предыдущим воспитанием, впервые столкнулось с рациональным научным мышлением. И, что естественно для трезво мыслящей натуры, дух науки преодо­лел в нём послушного протестанта.

В 1936 г., когда Гарднер завершал обучение на философ­ском отделении университета, он одновременно являлся авто­ром и редактором литературного студенческого журнала. Го­дом раньше опубликовал небольшую брошюру о фокусах, ин­терес к которым возник в детстве - именно тогда отец на­учил его выполнять первый фокус. И когда, как у многих студентов из не слишком обеспеченных семей, возникли материальные затруднения, в предновогоднюю декаду студент-философ подрабатывал, демонстрируя фокусы в большом уни­версальном магазине.

После выпускной работы, посвященной вопросам фило­софии науки, Гарднер поступил на службу помощником ре­дактора газеты в родном городе. По прошествии времени, неудовлетворенный своей деятельностью, он вернулся в Чи­каго, где сменил несколько мест работы, прежде чем ока­заться в роли сотрудника пресс-бюро Чикагского универси­тета.

В 1941 г. он записывается в военно-морской флот США и до конца второй мировой войны служит сигнальщиком на эсминце, совершающем патрулирование в водах Северной Атлантики. Уволившись с военной службы, Гарднер вернул­ся к литературному труду и удачно продал два своих фан­тастических рассказа журналу «Esquire». За ними в течение нескольких лет последовали около десятка новых историй. Почти все были задуманы во время ночных дежурств на мостике эсминца, когда, вооружившись биноклем, Гарднер вы­сматривал во мгле немецкие субмарины.

И вместе с тем послевоенные издатели не жаловали внимани­ем молодого автора. Поэтому в 1947 г. он переехал в Нью-Йорк, надеясь там проложить свою тропу на издательский рынок. Но и здесь судьба не улыбалась ему - по словам Гарднера, с трудом удавалось балансировать на грани нищеты. Только счастливый случай - открытие нового детского журнала «Humpty Dumpty», в котором он принял самое активное участие с первого выпуска, - позволил ему утвердиться в журналистской среде и достичь среднего уровня достатка.

Одной из забав того периода, придуманных им для маленьких детей, было использование ножниц для протыкания листа с рисунком пеликана. После такой процедуры у пеликана появлялся клюв, который можно было открывать и закрывать. Гарднер пишет стихи на темы воспитания, рассказы о приключениях веселых персонажей и становится достаточно популярным детским писателем.

Однако в середине 50-х гг. происходит важная для всей его последующей жизни метаморфоза - Гарднер на досуге сочиняет статью о гексафлексагонах, листках бумаги, свёрнутых в виде правильного    шестиугольника и проявляющих удивительные свойства при перегибах. Статья попадает в редакцию «Scientific American» и   вызывает   неожиданную   реакцию - издатель со­вместно с редактором приглашают автора для личной беседы. Их предложение стать постоянным ведущим раздела математических развлечений поначалу обескураживает Гарднера. Ведь в это вре­мя, согласно его воспоминаниям, у него не было ни единой книги по математике, а к изучению математики он не возвращался бо­лее десяти лет, со времен работы в Чикагском университете. При­обретя несколько попавших под руку брошюр по занимательной математике, Гарднер пишет следующую статью, которая посвя­щена отгадыванию чисел. За основу взят известный прием: совер­шение над числами ряда математических операций и сообщение их результата отгадывающему. Новой работы оказалось достаточ­но для официального утверждения в должности ведущего разде­ла. В редакции уже придумали для него название «Mathematical Games» («Математические игры»), и только много позже Гарднер осознал,  что начальные буквы этих слов совпадают с его инициалами. Можно ли после этого не верить в случай?

«Математические игры» быстро стали наиболее популярным разделом журнала. Материалы, печатаемые Гарднером, позволяли даже в совершенно простых вещах различить нечто таинственное и необычное. Ведущий раздела считал, что восхищение читателей от решённой задачи или головоломки мало чем отличается от восторга профессионального математика, разработавшего сложную научную проблему. В конце пути ждёт восторг соприкосновения с гармонией, воплощенной в строгом изяществе решения. Другая причина успеха заключалась в том, что тексты публикаций Гар­днера были просты и понятны. Изложение материала изначально не предназначалось для узких специалистов, однако автору всегда удавалось избежать и другой крайности  - менторского тона в от­ношении читателей.

Гарднер признавал свое сравнительно неглубокое математическое образование, но расценивал этот факт как преимущество. На себе ощущая все сложности постижения новаций, ему значительно проще удавалось обойти узкие места и скрытые ловушки, в доступной форме донести читателям свои мысли.

Новый раздел содержал и игры со словами - каламбуры, палиндромы, анаграммы, акростихи, панграмы, загадки. Ведь все эти игры имеют математическую природу - буквы, как любые математические символы, по определенным правилам объединя­ются в предложения. Скорее всего, именно обобщённый комбина­торный аспект стал причиной большой популярности игр со сло­вами в среде математиков. А возможно, и столь распространённо­го литературного творчества ученых.

Один из них, оксфордский математик Чарлз Доджсон, любил показывать фокусы маленьким детям, а кроме того, писать для них стихи и рассказы, сочинять загадки под псевдонимом Льюис Кэрролл. В своих публикациях Гарднер утверждает, что альянс фокусов и математики весьма обычен. Увлечение тем и другим есть следствие определённого склада ума. Фокус - разновидность головоломки. Умело выполненный на глазах восхищенной публи­ки, он непроизвольно заставляет некоторую часть зрителей заду­маться над механикой иллюзиона. Подобным свойством обладают математические выводы, в них извечно скрыто непостижимое магическое качество - нет ничего проще решенной задачи.

Страсть к фокусам и математике нашла своё отражение в кни­ге Гарднера «Аннотации к Алисе», которая разошлась полумил­лионным тиражом, очень большим по западным меркам. Обе кни­ги Кэрролла, и Гарднера - как бы рождены в Стране чудес. Несуществующая реально абстрактность математики имеет тот же смысл, что и улыбка Чеширского кота, парящая в воздухе, когда кот уже исчез. Прекрасный ответ на вопрос Шляпника: «Почему ворон похож на конторку?» - найден Гарднером у Сэма Ллойда: «Потому что блокнот с этими аннотациями не содержит нотаций для музыкальных нот». Исчерпывающее объяснение с точки зрения логики!

На  протяжении   многих   лет   страницы   журнала   «Scientific American»   служили    местом    интеллектуальных    развлечений большой группы одарённых любителей игр. Значительная часть идей и игр, дошедших с помощью Гарднера к читателям, роди­лась из откликов на журнальные публикации. Всемирно известны игра Джона X. Конвея «Жизнь», во времени и пространстве ими­тирующая поведение популяции клеточных организмов, игра Пи­та Хейна «Гекс», в которой каждый из игроков стремится соеди­нить противоположные стороны поля из шестиугольников непре­рывной цепочкой своих фишек, игра Соломона Голомба «Полимино», представляющая домино высшего порядка. Сотни предложе­ний и замечаний приносила почта раздела на публикацию отдель­ных материалов. Целый поток писем вызвала очередная апрель­ская шутка, в которой с полной серьезностью опровергалась тео­рия относительности Эйнштейна и доказывалось, что Леонардо да Винчи был первым изобретателем современного туалета со смыв­ным устройством. Розыгрыши и мистификации всегда отличали гарднеровские сочинения. Даже святые писания Библии стали объектом для математических изысканий: по утверждению Гард­нера, часть английского перевода   Библии в версии 1610 г. выполнена Шекспиром. В том году Шекспиру   (Shakespeare) исполнилось 46 лет,  а в 46-м псалме 46-е слово от начала - «Shake», 46-е слово от конца - «spear». Цифровой код великого литератора или случайное совпадение?

Гарднер раз за разом отмечает парадоксальную неожиданность совпадений в нашей жизни. Думается сейчас, когда, будто в глухое средневековье, мистические настроения охватили часть наших сограждан, а общественное сознание штурмуют толпы бессчётно плодящихся хиромантов, ясновидцев и прорицателей, чудотворцев, экстрасенсов, парапсихологов и астрологов, в моде чумаки, кашпировские, глобы, руцко, полезно узнать о гардне­ровском отношении к пророчествам, изложенном в книге издания 1980 г. «И по радио, и по телевидению идет жаркое соревнование, кому удастся сделать более сенсационное предсказание. Причём предсказать не что-то простое и обыденное, а что-то особое. Если предсказание не сбудется, о нём быстро забудут. Но если хотя бы часть из предсказанного произойдет, то это - потрясающая рек­лама». Далее, не скрывая иронии, в книге предсказывалось, что важная государственная фигура США с трудом избежит насиль­ственной смерти в наступающем году. И когда в 1981 г. на жизнь президента США Рейгана было совершено покушение, Гарднер не пытался примерить тогу провидца. «Чистое совпадение»,- констатировал он.

В начале 80-х гг., во времена триумфального шествия по миру венгерского кубика, Дуглас Хофштадтер^* сменил Мартина Гардне­ра в роли обозревателя по играм «Scientific American». Появи­лось и новое название раздела - «Metamagical Themas» («Мета-магические темы») - анаграмма «Mathematical Games». Однако вряд ли кто-то в состоянии заменить самого Гарднера и его от­крытые всему миру чудеса.

 

Гарднеровский задачник

 

Какие бы прекрасные эпитеты ни употреблялись в адрес Гар­днера, каким бы изощрённому анализу и скрупулезным коммен­тариям ни подвергались его задачи, оценить их можно, только по­знакомившись. Ниже помещены задачи как Гарднера, так и его последователей (включая задачи из журналов “Scientific American” и “Games”), насытивших абстрактные схемы реалиями самой жизни. Решение их непременно доставит удовольствие, а поэтому не ищите в тексте готовых ответов. Будем по-гарднеровски после­довательны!

Восемь монет. Гарднер считал одной из лучших головоломок с монетами старинную задачу о разложенных в ряд восьми монетах. Четырьмя движениями требуется сложить из них четыре стопки по две монеты в каждой. При перекладывании монет необходимо соблюдать следующее правило: любую монету можно переносить только поверх двух лежащих монет (стопки или двух соседних монет) и опускать на соседнюю к ним. Можно ли показать, что восемь - наименьшее число монет, которые указанным способом удается разложить стопками?

Как вынуть вишню? Это - одна из любимых задач Гарднера, обычно он приводил её среди десяти лучших головоломок. Спички (рис. 1) изображают фужер с коктейлем, внутри которого плавает вишня. Как, переставив только две спички, получить новый фужер, чтобы вишня (её нельзя трогать!) оказалась вне его? Разрешает­ся поворачивать фужер набок или вверх дном, но нельзя менять его форму.

Дело в шляпе. «Нет,- сказал математик своему 14-летнему сыну,- я не намерен давать тебе на неделю десять лишних долла­ров. Но из спортивного интереса можешь испытать себя». Сын тя­жело вздохнул: «Что на этот раз?»— «Так получилось, что сей­час у меня есть по десять новеньких десятидолларовых и однодол­ларовых купюр, имеющих одинаковый формат. Ты можешь поде­лить их на две пачки любым способом. Одну пачку положим в шля­пу А, другую — в шляпу Б. Затем я завяжу тебе глаза, ты хорошо перемешаешь купюры в шляпах и поставишь их рядом с камином. Затем из другого угла комнаты подойдёшь к камину и из первой же шляпы вынешь одну купюру. Если вытащишь десять долларов, то они твои».— «А если нет?»— «Будешь косить траву на лужайке перед домом весь месяц. И без жалоб!»

Сын принял это необычное предложение. Как ему следует поделить 20 купюр между двумя шляпами, чтобы увеличить шанс заработать десять долларов? Какова вероятность такого исхода?

Алкогольные блуждания. Когда Дон О′Гинес, мастер по музы­кальным инструментам, ворвался в полицейский участок и потре­бовал зарядить аккумулятор своего автомобиля, сержант Дой Агнос (совсем не родственник) весьма быстро пришёл к выводу, что пе­ред ним случай алкогольного опьянения.

О′Гинеса тут же доставили на новейшую тестовую площадку, размеченную 12 х 12 квадратов. Она имела два указательных знака: «старт» и «финиш». Испытуемому надо было просто пройти от пер­вого знака ко второму, причём перемещения по площадке регист­рировались дежурным полицейским. Идея теста проста: чем боль­шее число раз проверяемый субъект пересекал свой путь, тем пья­нее он был. Число пересечений легко соотносилось с показаниями полицейского индикатора алкоголя, который, по стечению обстоя­тельств, нельзя было применить в этот раз - все баллончики к нему оказались израсходованными во время празднования дня Се­редины лета.

Из пути следования О′Гинеса (рис. 2) можно без труда по­нять, что он не был абсолютно трезв. Каждая стрелка на рисунке показывает направление его движения через соответствующий квадрат. Сквозь квадраты со стрелками он проходил по одному разу. Через закрашенные квадраты он проходил более одного ра­за. Входить и выходить из этих квадратов О′Гинес мог в любом направлении, однако опьянение не давало ему развернуться в квадрате на 180° и идти строго назад. Более того, после такого пово­рота он бы неминуемо упал и уже не поднялся. Достаточно ли ин­формации на рис. 80, чтобы восстановить движение по тестовой площадке? Для удобства решения задачи можно ввести координатную сетку.

Четыре письма. Секретарь-машинистка печатает четыре дело­вых письма разным адресатам. Какова вероятность того, что при случайном раскладывании писем в верно надписанные конверты три письма окажутся положенными в конверты правильно?

Есть ли выигрыш? Для игры используются 15 полей, соединен­ных между собой (рис. 3). Один игрок («белый») ставит свою фишку на большое поле вверху, другой («чёрный») - на большое поле внизу. Начинают «белые». Ходы совершаются по очереди. Ход состоит в перемещении фишки на соседнее поле, причём фиш­ка двигается только по чёрным линиям, соединяющим поля. «Бе­лые» пытаются захватить фишку «чёрных», поставив свою фишку на поле, занятое фишкой «чёрных». Если это удастся сделать в те­чение первых семи ходов, то выигрывают «белые», если нет - «чёрные».

Гарднер утверждает, что существует простая стратегия, при использовании которой всегда выигрывают «белые». Действитель­но ли есть такая стратегия? Можно ли объяснить полученный ре­зультат?

Теннисный матч. Миранда выиграла у Розмари, победив в шес­ти играх против трёх. Пять игр выиграны при подаче мяча дру­гой спортсменкой. Какая из девушек подавала мяч первой?

Врачебный долг. XXI век. Первое поселение людей на Марсе охвачено эпидемией гриппа, причиной которого является один из неизученных местных вирусов. Сложность в том, что инфицирован­ного больного нельзя определить на ранней стадии заболевания - нужны недели, чтобы появились первые симптомы болезни. Грипп заразен, но только при прямом контакте. Вирус передается при соприкосновениях людей или попадает вначале на предмет, кото­рый трогали, а оттуда - прикоснувшемуся к нему человеку. Зная это, обитатели поселения стараются обходить друг друга стороной, чтобы случайно не соприкоснуться или не дотронуться до инфи­цированного предмета.

Надо так случиться, что в это же время миссис Хокер, дирек­тор поселения, серьёзно пострадала при аварии на местном кос­модроме. Потребовались три сложные хирургические операции. Первую мог выполнить доктор Астер, вторую - доктор Браун, третью - доктор Вельт. Любой из хирургов мог быть инфицирован вирусами гриппа, как и сама миссис Хокер. За несколько минут до первой операции выяснилось, что в больнице поселения оста­лось лишь две пары стерильных хирургических перчаток. Другие взять попросту негде, времени на стерилизацию нет, а жизнь боль­ной висит на волоске. Вместе с тем каждому из хирургов необходимо оперировать обеими руками.

«Я не знаю, как одному из нас удастся избежать риска инфицирования, - сказал доктор Астер доктору Вельту. - Когда буду оперировать я, мои руки могут инфицировать перчатки изнутри, а миссис Хокер, если у неё грипп, инфицирует перчатки снаружи. То же произойдет с перчатками, надетыми доктором Брауном. Ког­да настанет черёд третьей операции, то придётся надевать пер­чатки, которые могут оказаться заражёнными с двух сторон» - «Решим от противного, - сказал доктор Вельт, который изучал то­пологию, будучи студентом медицинского колледжа в Париже. - Есть простая процедура, позволяющая исключить риск заражения и нас, и миссис Хокер».

Что придумал доктор Вельт?

Десять спичек. Уберите шесть спичек (рис. 4), оставив десять. Для правильного решения задачи следует вспомнить то, что выше рассказывалось о Мартине Гарднере.

Чудеса машинописи. В верхнем ряду пишущей машинки с ла­тинским шрифтом расположены клавиши, имеющие литеры q, w, е, г, t, у, u, i, о, р. Самое длинное слово, которое составлено из этих букв (буквы используются в любом количестве): typewriter. В переводе - не удивляйтесь! - оно означает «пишущая машинка». Три ряда клавиш машинки с русским шрифтом имеют буквы:

й, ц, у, к, е, н, г, ш, щ, з, х;

ф, ы, в, а, п, р, о, л, д, ж, э;

я, ч, с, м, и, т, ь, б, ю, ё.

Какие самые длинные слова можно составить из них?"

Короткий метр. Один умелец принялся за новую поделку, од­нако ему не хватило досок. Он измерил длины недостающих кусков, а вскоре купил их длиной 41, 66, 75, 79 и 85 см. И тут же, при­дя домой, обнаружил, что они на 10 см короче, чем требовалось. Оказалось, что, используя гибкий ленточный метр длиной 150 см, он сделал три измерения не с того конца. Да и сам метр был с дефек­том - на краю не хватало куска ленты. Какую длину имеет лента? Каковы точные длины пяти кусков доски, необходимых для завер­шения работы?

Вынужденное голодание. Похудевший на вид доктор Ватсон слабо улыбнулся, прежде чем перейти к своему рассказу.

«Шерлок Холмс возник из табачного облака, окружавшего его кресло. Волны дыма поверх газетных листов струились в моем на­правлении. «Вы помните то происшествие в отеле «Эксцельсиор», Ватсон?» - спросил он. Я ответил утвердительно и добавил, что в высших кругах данное заведение славится необычайно хорошими бифштексами. «Репутация вряд ли улучшится после недавнего слу­чая отравления», - заметил он. «Что?» - насторожился я, доста­вая трость и готовясь рискнуть ради новых приключений. «Обой­дёмся без приключений, Ватсон. Здесь достаточно информации». Брошенная сильной рукой, газета описала дугу и приземлилась передо мной. «Хотя, как обычно бывает при разноязычном пер­сонале редакций, тут больше описаний, чем какого-либо порядка. Займитесь, доктор».

«Цедрик и четыре его друга уселись за круглый стол, чтобы позавтракать. Андрю ел меньше мистера Адамса. Бейзил выше мистера Бейкера, который выше Андрю. Официант смог вспомнить, что кто-то сел между Дэнисом и мистером Адамсом. Мистер Элдон добирался к завтраку дольше, чем любые из его ближайших сосе­дей. Кто-то сидел между Бейзилом и мистером Карлсоном. Эдгар и мистер Адаме оба пили чай с лимоном. Мистер Доббинс добирал­ся к завтраку дольше, чем Бейзил. Дэнис и мистер Бейкер ели ры­бу. Известно, что Бейзил тяжелее мистера Адамса. Дэнис съел меньше мистера Доббинса».

«Замечу, Ватсон, воздействие некоторых ядов зависит от их дозировки - четверо отзавтракавших находятся без сознания в больнице, а один, сосед Андрю по столу, уже умер. Очевидно, он ел больше других. Как его имя?» - «Думаю, Холмс, - рискнул предположить я, - что размышлять будет лучше, если я чем-ни­будь перекушу. Наверное, атмосфера отеля «Эксцельсиор» могла бы...» - «Нет, ведь это элементарно, Ватсон! - воскликнул вели­кий человек. - Вы назовете имя до того, как притронетесь к на­крахмаленной салфетке».

Можно ли спасти доктора Ватсона от голодной смерти, под­сказав ему нужное имя?

Фамильный надел. С каменным выражением лица налоговый инспектор слушал, как двое молодых Фоксемов объясняли, почему поместье умершего отца не было разделено между ними, а долги остались невыплаченными. Причиной явилось поле, имевшее фор­му равностороннего треугольника. По воле отца требовалось пря­мой изгородью разделить его на два треугольника, чтобы все сто­роны новых треугольников имели целое число единиц длины,

Инспектор дал юным Фоксемам карандаш и бумагу, велико­душно предоставив 10 минут на размышление, прежде чем ввести в действие своё решение - в счёт уплаты долгов конфисковать все поле целиком.

Можно ли помочь братьям избежать конфискации? Какие дли­ны должны иметь стороны новых треугольников и каково наимень­шее количество «единиц», приходящихся на сторону первоначаль­ного правильного треугольника?

Умножение по Гарднеру. В криптарифме, составленном Эдвар­дом Деверексом, каждая буква обозначает одну цифру, а точки - десятичные запятые. Существует единственное решение этой зада­чи, обладающее уникальным свойством, - букву «А» множителя нельзя заменить никакой другой. Сам Гарднер прокомментировал пример следующим образом: «Было бы приятно сказать, что мой  второй инициал «А», но вообще-то я не имею второго имени» (Второе имя, аналог русского отчества, во многих языках отсутствует).

 

. MARTIN

Х

             . А

GARDNER                                                                                                                                 

 

 

Рис. 1.  Головоломка «Как вынуть вишню?»

 

 

 

 

 

                              Ф И Н И Ш

 С Т А Р Т

 

 

Рис. 2.  Запись движения по тестовой площадке.

Рис. 3.  Расположение игровых полей в задаче «Есть ли выигрыш?»

 

Рис. 4.  Головоломка «Десять спичек» 

Источник: «В лабиринтах игр и головоломок» - Л, 1992. Сост. В. Белов.