Трубицын В. Теория игровых структур

Художественное оформление автора.

Оглавление

Геометрический гербарий: новый взгляд на старые истины

Введение

Гл. 1 Общая классификация и свойства игровых структур

Гл. 2 Точечные структурообразующие элементы и структуры

Гл. 3 Линейные двумерные структурообразующие элементы и структуры

Гл. 4 Линейные трёхмерные структурообразующие элементы и структуры

Гл. 5 Плоскофигурные структурообразующие элементы и структуры

Гл. 6 Экзофигуры и экзотела в роли структурообразующих элементов плоскофигурных и объёмных структур

Гл. 7 Трёхмерные структурообразующие элементы и структуры

Гл. 8 Периодическая таблица пространственных структурообразующих элементов

Гл. 9 Геометрия игрового пространства

Гл. 10 Внеструктурное игровое поле

Гл. 11 Шашечные игровые структуры

Заключение

Условные сокращения и формулы (Приложение 1)

Таблицы

А. Дюрер. Меланхолия. Гравюра на меди. 1514.

НЕ ГЕОМЕТР – ДА НЕ ВОЙДЁТ!

(Надпись на входе в платоновскую академию).

"Самое поразительное в нашей науке – это то,

что она возвращается к пифагореизму."

Бертран Рассел

"Каждый из нас – лишь человек, лишь попытка,

лишь нечто куда-то движущееся.

Но двигаться он должен туда,

где находится совершенство."

Герман Хессе (Hermann Hesse), "Игра в бисер."

"Можно мыслить понятиями и словами –

а можно кубами, шарами и даже мирами"

Олег Григорьев

"Если ты не отличаешь бесконечногранник от шара,

то как ты отличишь

совершенную тетрарадиолярию от тетраэдра?"

Джек Сон

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ГЕРБАРИЙ: НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА СТАРЫЕ ИСТИНЫ

Основным методом исследования в настоящей работе является разработанный автором структурный анализ игровых пространств. Роль настольных комбинационных игр в развитии человеческого интеллекта давно известна, однако уровень независимых исследований в этой сфере, по мнению автора, оставляет желать много лучшего. В результате мы лишь частично используем заложенный в них потенциал во многих аспектах – в том числе и для создания перспективных познавательных технологий. Что же даёт нам предлагаемый автором подход, состоящий на первый взгляд всего лишь в обобщении давно известных фактов одного из разделов планиметрии о комбинаторно-различимых разбиениях пространства?

Вполне очевидно, что содержание работы отнюдь не сводится к простому перечню возрастающих по сложности и мерности пространственных структур, хотя и такой материал информативен. Автор идёт дальше – к анализу внеструктурного игрового поля, которое по сути ничем не отличается от библейской Бездны ("И была мгла..."). То есть от реального физического пространства. Насколько нам известно, ничего похожего ни в научной, ни в популярной литературе нет.

В структурированной же части своего вовсе не такого уж "игрушечного" мироздания автор обнаруживает глубокие внутренние связи, так или иначе уже известные специалистам, изучающим различные категории структур вещества вплоть до макрообъектов, но в рамках игротехники приобретающие свою специфику. И этого следовало ожидать, потому что автор в итоге обратился к наиболее общим свойствам структурированного мира.

Как оказалось, свойства игровых структур во многом формируются свойствами их структурообразующих элементов. В свою очередь указанные структуры способны транслировать свои «зародышевые» признаки на характер происходящих в структурах процессов (в данном случае – как на формирование свойств субъектов игры, то есть игровых фигур, так и на характер самой игры). Это напоминает фантастический принцип таблицы Д.И. Менделеева, в которой свойства химических элементов зависят не от волшебства, а как теперь уже ясно – от количества электронов в атоме. (И, разумеется, от определённых геометрических свойств вещества на микроуровне).

Автор работы убеждён в том, что если тема столь глубоких структурных связей в свойствах игровых пространств ранее вообще не обсуждалась, то ни о каком строгом подходе в изучении комбинационно-стратегических игр говорить не приходится. Усваивались только внешние признаки и вторичные эффекты, а не сама суть, феноменально связанная не с мистикой, а со структурным единством всего мироздания, основанном в том числе на эволюции его форм. Теперь же речь может идти о качественно новом этапе в исследовании комбинаторно-стратегических игр. Игра с наукой может стать наукой об игре. Чего сами гуманитарии предвидеть не могут по причине недостатка информации в сфере специальных игровых технологий. Но указанное сближение идей уже происходит.

Что касается настоящей публикации, то надо приветствовать авторов, которые вслед за известными учеными и художниками не хотят ограничивать себя видимой оболочкой геометрического тела или другими очевидностями, а дерзко вспарывают кажущуюся истину в поисках ранее недоступной сути: новой пропорции, новой комбинации, нового объективного закона – и, в конечном счёте, новой гармонии. Даже если всё это – всего лишь игра с Геометрией, она заслуживает похвалы: играя, мы познаем мир. И надеемся изменить его в лучшую сторону.

Доктор геолого-минералогических наук,

профессор кафедры минералогии и петрографии

Санкт-Петербургского госуд. Горного института

(технического университета) А.И. Глазов

Введение

Настольные комбинационно-стратегические игры (НКС-игры) наряду с логическими задачами и головоломками всегда были пробным камнем для интеллекта. Но почему-то сами игры в России до сих пор выпадали из сферы непредвзятых систематических исследований как самостоятельный феномен. (Первая и последняя в России фундаментальная работа на эту тему, не лишённая тенденциозности, была опубликована Д.И. Саргиным в 1915 г). Поэтому мы и имеем на сегодня полный волюнтаризм и в описании, и в методологии использования НКС-игр. Например, новейшая шахматная энциклопедия теорией шахмат называет "совокупность знаний о шахматной игре", состоящую по сути из теории дебюта, миттельшпиля и эндшпиля – но не имеющую никакого отношения к конструкционным особенностям самой шахматной игры. (То есть по мнению ведущих шахматистов, скажем, теория автомобиля – это правила движения, а то, почему он способен передвигаться, к теории автомобиля не имеет никакого отношения). И такой подход всё ещё называется "своеобразной наукой о шахматах". Смех да и только. Вероятно, более строгой науки о шахматах в спортивном департаменте в принципе быть и не может. Поэтому многие другие нелепицы, насаждаемые рекордсменами и обслуживающей их прессой, легко становятся официальной нормой.

Узкий спортивный подход к популярным комбинационным стратегическим играм наносит невосполнимый вред и самим играм, и игровому мышлению в целом, что можно проследить на примере шашек и шахмат. При всём изобилии литературы в указанной области всё ещё не выработаны, например, научные критерии в изучении процессов формирования самих игр. Отсюда – часто встречающееся непонимание истории и философии игры, её главной идеи и движущих сил. Что создаёт большой простор для произвольных истолкований важнейших параметров игры, ничем не обоснованное неприятие исследований конструктивных особенностей игры – не говоря уже о прогнозировании потенциально возможной эволюции игры. Что касается менее популярных НКС-игр, то они вообще предоставлены самим себе – в то время как существует настоятельная необходимость гораздо эффективнее использовать НКС-игры во всём их многообразии не только как средство для существования спортивной элиты. Ведь указанные игры легли в основу математической теории игр, впервые изложенной в фундаментальном труде Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна (1953), которым удалось перевести математическое мышление из области задач о перемещении тел в сферу оперирования понятиями разумного и целесообразного. НКС-игры тесно переплетаются с проблемами изучения законов мышления, стимулирования творческих процессов. Например, без них немыслима аксиоматика военных дисциплин, политологии, экономики, новейших педагогических технологий и многого другого.

Отдельной проблемой является явная недооценка нашей системой образования широкого использования факультативных учебно-воспитательных игровых программ, о чем В.Н. Белов (кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского политехнического университета) и автор настоящей книги сделали сообщение на Пятых Царско-сельских чтениях, прошедших 24-25 апреля 2001 года в Ленинградском государственном областном университете им. А.С. Пушкина: "Раннее формирование креативности учащихся с применением игровой методики на базе комбинационных настольных игр". Излагаемые в настоящей публикации основы теории игровых структур являются лишь преамбулой к эффективному исследованию комбинационных игр. В сочетании с новейшими достижениями науки, включая теорию самоорганизации, язык игры может стать не только продолжением математического языка, но и лечь в основу едва наметившейся дисциплины на стыке точных и гуманитарных наук, которую можно условно назвать игроникой.

НКС-игры являются также универсальным средством изучения поведенческих моделей и конфликтных ситуаций. Но для их использования необходимо обладать и знанием самих игр, и соответствующим теоретическим багажом, который вовсе не сводится только к спортивной подготовке (да ещё лишь в одной из множества игр). Там и сям освещаются частные проблемы, к месту и не к месту в любые тексты вставляются модные фразы (вроде той, что жизнь – это игра), но нам остаётся лишь позавидовать математикам, которые сумели доказать обществу, что их дисциплина – это великий универсальный язык, которым можно описать буквально всё, что касается точных наук. А ведь язык игры не менее универсален и при освещении гуманитарных аспектов знания имеет куда более гибкие возможности. Сегодня именно язык игры претендует на то, чтобы стать продолжением чисто математических методов во многих областях знания, включая науки о человеке и обществе. Хотелось бы верить, что НКС-игры в строгом изложении вполне могут стать не только основой для нового языка, но и дать массу конкретных моделей и технологий в форме междисциплинарных методов. А при узко-спортивном подходе мы резко сужаем их сферу применения. Но ведь до сих пор важнейшие решения в сфере игровых дисциплин принимают либо некомпетентные лица, имеющие интеллект на уровне игрока в подкидного, либо администраторы спортивных федераций – весьма не заинтересованные в широком изучении игр.

Другая напасть – это низведение игры до странной болезни в виде пристрастия к играм типа лото, в которых вполне достаточно с одной стороны иметь балаганного зазывалу, а с другой – дрессированного медведя или другое существо, способное лапой передвигать пуговицу по раскрашенным картинкам. Или по Колесу рекламных чудес. Когда в такие игры играет малыш в детском садике, то это ещё понятно. Но если в эту игру взахлёб и с применением средств спутниковой связи играет вся страна, то мы должны всерьёз опасаться за психическое здоровье такой нации. Не пора ли осознать, что игровые технологии в цивилизованной стране должны служить не зомбированию, а просвещению граждан?

Теория игровых структур (ТИС) является методом построения точечных, линейных и плоскофигурных структур, широко применяемых в настольных комбинационно-стратегических играх. Она вызвана к жизни не только необходимостью систематизировать уже имеющийся материал в этой области, но и показать процесс формирования игровых структур в максимально возможном диапазоне в пространствах трёх измерений. В более общем плане теория игровых структур описывает целый ряд характеристик структурированного пространства (как и внеструктурного). Игровое поле – это не пассивный объём, куда игрок (или сама природа) помещает любые фантастические фигуры (объекты материального мира) с неизвестно откуда взявшимися свойствами. Всё обстоит иначе. Само пространство и порождает объекты, и определяет «типы фигур», свойства которых (типы их взаимодействия) не могут быть не связаны с типом пространства. Такой подход позволяет глубже понять неизбежность гармонии в сложных искусственных или самоорганизующихся системах, включая гипотезы мироздания.

Всякая НКС-игра состоит из двух важнейших компонентов: игрового пространства (поля) и субъектов игры (фигур). Оставим пока в стороне вопрос о наличии самих игроков, которые явно присутствуют не во всех типах игр. Или, например, в системах самоорганизации. Предметом ТИС является изучение закономерностей формирования игровых пространств.

Глава 1

ОБЩАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИГРОВЫХ СТРУКТУР И СТРУКТУРООБРАЗУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Новейший шахматный энциклопедический словарь определяет шахматное "поле" как одну из 64-х клеток, совокупность которых образует "шахматную доску". В отечественной литературе эти крайне неудачные определения получили долгожительство лишь по недоразумению. Вместо старого термина "шахматное поле" следует употреблять термин "игровой пункт". Этот термин более точен и универсален, он годится для игровых пространств любого типа. В русском языке понятие "поле" связано с чем-то обширным. Почему же в настольных играх понятие "игровое поле" мы не применяем по отношению ко всему игровому пространству, кому нужна такая изысканная путаница? Пора, наконец, условиться, что игровое поле - это всё игровое пространство в той или иной настольной игре. (Поразительно, что Шахматная федерации России, имеющая в своих рядах крупнейших учёных с позапрошлого века (!) так и не удосужилась привести в порядок хотя бы понятийный аппарат для своей многотомной литературы. У меня есть специальная статья о ляпсусах в современной шахматной энциклопедии, составленной под руководством Карпова Е А. – Т.В.)

Игровое поле (W) определим как совокупность игровых пунктов игрового пространства и выделим 4 пространственных тина игровых полей:

1. Точечные игровые поля (таблица 1)

2. Линейные игровые поля (таблицы 2, 3)

3. Плоскофигурные игровые поля (таблица 4)

4. Объёмные игровые поля (таблица 5)

Игровой пункт (q) определим как участок игрового поля для помещения субъекта игры (фишки или фигуры) в игровое пространство. Во внеструктурных и точечных игровых полях – это точка игрового пространства с определёнными координатами. В линейных игровых структурах – это точка, лежащая, как правило, на пересечении линий. В плоскофигуриых и объёмных структурированных игровых полях – это ячейка игровой структуры. Структурированные игровые поля состоят из пространственных структурообразующих элементов, почти всегда выполняющих роль игрового пункта. (В широком смысле слова любая структура является инвариантным аспектом любой целостной системы на определённом этапе её развития).

Структурообразующий элемент (СОЭЛ) – это единица структурированного игрового пространства в виде точки, отрезка линии, линейной или плоской фигуры, трёхмерного тела.

Валентность структурообразующего элемента (z) – его способность присоединять к себе другие структурообразующие элементы в процессе создания игровых структур. В точечных структурах потенциальная валентность может быть реализована в направлении кратчайших расстояний между соседними точками. В линейных – по исходящим из точки лучам в направлении ближайших элементов структуры. (Понятие луча вытекает из аксиомы А. Донеддю, которая гласит: "Для любой прямой Д и любой точки а, принадлежащей этой прямой, существует разбиение множества Д-а на два непустых подмножества, называемых противоположными лучами"). В плоскофигурных структурах – через равновеликие состыкованные стороны плоско-фигурных СОЭЛ при их плотнейшей упаковке. В объёмных – через равновеликие состыкованные грани трёхмерных СОЭЛ (многогранников).

У истоков структурного мира (во внеструктурных и точечных полях) расположен самый универсальный СОЭЛ – геометрическая точка, которая по внешнему виду всегда является элементом одного и того же типа с нулевой валентностью. На самом же деле она потенциально способна образовать бесконечное множество разнотипных структур.

Опишем основные свойства игровых полей, формируемые их структурными особенностями и рядом общих условий. При этом характеристики свойств для наглядности обозначим парами противоположных понятий.

Внеструктурность игрового поля – это свойство, выражающееся в полном отсутствии в игровом пространстве каких-либо специально нанесённых точечных, линейных, плоскофигурных или объёмных структур, рисунков, цифровых или буквенных обозначений, разноцветных участков, условных зон, символов или специальных знаков. В двухмерном виде – это чистый лист бумаги, в трёхмерном – некоторый пустой объём. (Разумеется, в виде условного абсолюта). [21 : 178].

Неограниченность игрового поля можно трактовать и как бесконечность по направлению осей координат, и как замкнутость (например, поверхность шара, многогранника, тора).

Однородность игрового поля предполагает, что речь идёт либо о внеструктурном игровом поле, либо о структурированном поле, составные элементы которого являются геометрическими образованиями одного типа и размера (например, равновеликими квадратами).

Непрерывность игрового поля указывает на отсутствие функциональных промежутков в последовательном ряду игровых пунктов по всем направлениям.

Изотропность игрового поля предполагает одинаковость его свойств по всем направлениям. Совершенно ясно, что абсолютной изотропностью обладают только внеструктурные неограниченные игровые поля, в игровой практике практически не известные. Любое другое игровое пространство всегда содержит в себе прежде всего так называемую периферийную анизотропию (которая, кстати, весьма оживляет игру). Что касается самих структур, то мы интуитивно склонны считать вполне изотропными множество правильных однородных структур, но это не совсем так. Одно лишь изменение направления передвижения какой-либо экспериментальной точки в той или иной структуре ясно показывает различие характера передвижения – и, следовательно, различие свойств структуры. Это явление можно называть структурной анизотропией. Именно этот анизотропный узор и является главнейшей характеристикой структуры и самым существенным её отличием от других однотипных структур.

Многоцветность структуры – это её способность более наглядно демонстрировать свои функциональные свойства. Например, шахматные структуры на самом деле "раскрашиваются" наличием нескольких невстречающихся слонов – и лишь для своего удобства игроки условились раскрасить шахматную доску тем или иным образом. Кроме этого не следует, например, путать известную задачу о четырёх красках с многоцветными игровыми структурами, где действуют другие условия раскраски, позволяющие применять в одной структуре множество цветов.

Элементная правильность структуры подразумевает, что её структурообразующие элементы представляют собой правильные геометрические образования (точка, отрезок линии, правильный многоугольник, правильный многогранник).

В структурированных игровых полях центр поля может быть образован либо одноэлементным, либо многоэлементным ядром. Например:

Рис. 1-а

В первом случае игровое поле имеет в центре сильный игровой

пункт. А во втором его уникальность разделена между четырьмя ячейками (как в общеизвестных шахматах), что позволяет значительно снизить структурную анизотропию в центре игрового пространства. Теперь ясно, что даже выбор точки отсчёта изменяет свойства игрового пространства. В ограниченных игровых структурах большое значение также имеет форма игрового поля. От неё зависят многие параметры игры.

Периметрально правильные игровые поля относятся к гармоничным структурам, лежащим в основе наиболее совершенных игр.

Понятие правильность (регулярность) является достаточно ёмким и многоплановым. Его часто употребляют как синоним "симметричного".В математической теории симметрии это слово употребляется в техническом смысле (как, например, слово "группа"). Принято считать, что объект называемся правильным, если он составлен из равных частей, каждая из которых равно расположена относительно остальных частей. Из равенства и равнорасположения частей следует, что для любых двух частей, как бы мы их ни выбирали, всегда существует движение (операция симметрии), переводящая одну часть в другую, а весь объект – в себя. Узор, составленный из нигде не пересекающихся многоугольников, между которыми нет промежутков М. Гарднер называет мозаикой или паркетом. Правильной называется мозаика, целиком состоящая из одинаковых правильных многоугольников, расположенных так, что они имеют общие вершины. Полуправильными мозаиками называются такие, в которых правильные многоугольники двух или большего числа видов, имеющих общие вершины, располагаются в одной и той же циклической последовательности вокруг из каждой из вершин. Известно ровно 8 таких мозаик [6 : 50]. Восьмая структура, впервые описанная Кеплером, хиральна. Было бы точнее назвать эту восьмерку структур почти правильными структурами, так как полуправильных структур с не совсем правильными элементами великое множество.

Главным условием симметрии является полное конфигурационное совпадение всех элементов структуры с их первоначальным видом и пространственным расположением при вращении структуры или сопоставлении её элементов. Авторы учебного пособия "Классическая симметрия" [39] В.А. Франк-Каменецкий, П.Л. Дубов, И.И. Шафрановский вслед за Г. Вейлем (1885 - 1955) называют симметрией инвариантность некоторой фигуры относительно совокупности (группы) преобразований. В их работе продемонстрирован вывод 32 точечных, 75 стержневых, 80 слоевых и 230 пространственных фёдоровских групп симметрии. Р. Галиулин пишет, что "это определение Г. Вейля совпадает с определением геометрии по Ф. Клейну (1849 - 1925) – (иностранному членкору Петербургской АН). Согласно «Эрлангенской программе» Клейна задача каждой области геометрии состоит в изучении свойств, инвариантных относительно соответствующей группы преобразований, то есть каждому типу преобразований соответствует свой раздел геометрии". Преобразования (вариации) и их варианты являются важнейшими понятиями и в сфере науки, и в сфере искусства.

Наличие поворотной симметрии означает, что при полном обороте структуры в 360° вокруг перпендикулярной к ней оси вращения она совместится сама с собой не менее двух раз. (За один оборот совмещение происходит у любого бесформенного тела, не содержащего в себе никаких признаков упорядоченности и гармонии). Ось симметрии – прямая линия, вокруг которой происходит поворот равных частей симметричной фигуры или структуры. Количество самосовмещений фигуры за полный оборот называют порядком поворотной симметрии. Его можно выразить индексом L. Например: L2, L3, L4… L8

Центральная симметрия осуществляется трансляцией элементов структуры через её фокус симметрии (центр инверсии). При этом указанные элементы структуры транслируются за фокус симметрии с одновременным переворачиванием "изображения" на 180°. Если структура обладает центральной симметрией, то все её элементы должны иметь своих двойников за центром симметрии. (Как, например, двухлопастный пропеллер самолёта. А уже трёхлопастный, обладая поворотной симметрией третьего порядка, центральной симметрией не располагает). Наличие центральной симметрии указывается индексом С.

Зеркальная симметрия означает присутствие в структуре одной или нескольких плоскостей симметрии (индекс Р), перпендикулярно проходящих через её центр. Плоскость симметрии – это плоскость, разделяющая структуру на две зеркально-равные части. Но тут есть одна тонкость. Если мы поместим зеркало за пределами структуры и будем его передвигать по её периметру лицом к центру, то скоро убедимся в том, что все структуры делятся на 2 класса. Одни структуры будут отражаться в зеркале без изменений, а другие будут отличаться от своего отражения так, как левая перчатка отличается от правой. Первое свойство называется ахиральность, а второе – хиральностью. Например, доска го – ахиральна. А любая структура в виде левой или правой спирали – хиральна.

Зеркальная симметрия вовсе не подчеркивает ту мысль, что если мы поставим зеркало перпендикулярно центру структуры, то её половина в точности ОТРАЗИТСЯ в зеркале. Ведь это происходит всегда! Зеркальная симметрия означает, что отраженная половина структуры совпадает при наложении с той её половиной, которая была закрыта зеркалом. Вот именно в хиральных структурах такого совпадения никогда не произойдет. Коварство зеркальной симметрии, однако, на этом не заканчивается. Если мы начнём перемещать зеркало вокруг шахматной доски, то увидим странную картину. При расположении зеркала между вертикалями d-e или между горизонталями 4-5 доска нам кажется хиральной, а при его расположении по главным диагоналям – ахиральной. Но это противоречие разрешается легко. Если структура имеет хотя бы одну плоскость зеркальной симметрии, она уже не может быть чем-то вроде спирали. А шахматная доска имеет 2 таких плоскости по главным диагоналям. Просто на шахматной доске плоскостей симметрии меньше, чем на доске го.

Доска го: L4 4РС

Шахматная доска: L2 2PC

Следовательно, доска го имеет вдвое более высокую категорию симметрии, чем шахматная доска.

Объективность требует упомянуть ещё один вид симметрии – переносную, допускающую формирование структуры методом параллельного переноса её базовой формы вдоль оси переноса. Но это свойство симметрии наиболее значимо проявляет себя в строении вещества, в художественных орнаментах, в архитектуре и т.д. При формировании игровых структур куда более важное значение имеет их способность к росту от центрального ядра методом их послойного наращивания единичными СОЭЛ или их компактными сочетаниями. Например, на рис. 1-б изображён послойный рост гексагональной структуры вокруг центральной ячейки, которая принимается за первый уровень игрового поля. Все последующие слои получают порядковые номера простого ряда чисел. Отсюда следует, что уровень игрового поля (это ещё одна его характеристика для периметрально правильных структур) определяется порядковым номером замкнутого слоя ячеек по отношению к ядру поля.

На рис.1-б изображено правильное гексагональное поле 3-го уровня,

сумма игровых пунктов которого в зависимости от уровня поля (n) определяется по формуле:

Sn= l + 3n(n – l) = 1 + 3·3(3 – 1) = 19

Остальные формулы роста правильных плоскофигурных структур приведены в приложении 1.

Одним из важнейшим свойств структурированных игровых пространств (если не главным) является их валентность, формируемая, как известно, валентностью СОЭЛ. Четырёхвалентные СОЭЛ образуют четырёхвалентную структуру (го, общеизвестные шахматы), шестивалентные СОЭЛ - шестивалентную структуру (гекс) и т.д. Общее валентное соотношение всех игорных пунктов в одной игре легко выразить числовым соотношением. Для го (при валентности СОЭЛ, равной 4, 3, 2) оно составит 289 : 68 : 4. Для тетрагональных шахмат (при валентности СОЭЛ, равной 4, 3, 2) оно составит 36 : 24 : 4.

Для гексагональных шахмат (при валентности СОЭЛ, равной 6, 4, 3) оно составит 61 : 24 : 6. Изменяя валентное соотношение структуры, можно изменить характер игры. (Обратите внимание, что категория валентности в гексашахматах в 1,5 раза выше, чем в общеизвестных шахматах и в го!)

Важнейшим свойством структурированных игровых пространств является, как мы уже говорили, их принадлежность к определённому геометрическому классу структур. К сожалению, у многих исследователей НКС-игр всё ещё нет ясного понимания их отличий. Например, А. Куличихин, с которым мне приходилось общаться, писал: "Поле – место, на которое выставляются фишки в процессе игры (?). Причём если полями являются отрезки прямых линий, то шашечницы называются линейными, если точки пересечения линий – сетки, то шашечницы называются точечными, а если полями являются клетки, то клеточными." Что можно здесь понять?.. Казалось бы, с годами базовая терминология в НКС-играх должна была приобретать более стройный вид – но ничуть не бывало. Ситуация ещё более усугубилась тем, что часть НКС-игр в процессе их стихийного создания оказалась не на своих досках. Подлинная (функциональная) структура игрового пространства и его внешний вид - это не всегда одно и то же.

Условимся же во избежание дальнейшей путаницы точечными структурами называть дискретные образования из геометрических точек в том или ином измерении пространства, имеющие потенциальную валентность каждой точки в направлении кратчайших расстояний между ними. Указанные точки и будут являться игровыми пунктами точечных структур.

Линейные структуры образуются геометрическими линиями в трёх измерениях пространства в виде отрезков линий, замкнутых линий, плоских сеток или трёхмерных конструкций. Игровые пункты в линейных структурах изображаются как правило в виде точек, лежащих либо на тех или иных участках линий, либо на их пересечении. Таким образом, в точечных и линейных структурах игровые пункты в виде точек совершенно идентичны.

Плоскофигурные (или клеточные) структуры образуются из плоских геометрических фигур (СОЭЛ) без зазоров и перехлёстов между ними. Игровыми пунктами таких структур являются плоские фигуры.

Объёмные (или трёхмерные) структуры образуются из многогранников, которые способны заполнить пространство без остатка при их плотнейшей упаковке. Игровыми пунктами таких структур являются многогранники.

Возникает сразу вопрос: поскольку точечные структуры по сути являются неким аморфным дискретным образованием, то можно сказать, что как единое целое они вообще не существуют? Парадокс же состоит в том, что именно такие структуры занимают самое почётное место у истоков мироздания, определяя всё многообразие реального мира. Что касается НКСИ, то у нас есть подозрение: в тех играх, где фишки по ходу игры не передвигаются, игровое пространство должно состоять из точечных структур. Проблема лишь в том, что точечные структуры требуют реальных носителей своей структуры. Когда они располагаются на линейном каркасе, возникает путаница между точечной и линейной структурой (что произошло, например, в Уэй-чи).

Теория суго, впервые опубликованная автором в 1990 году [25 : 178], вносит обнадёживающую ясность в эту запутанную проблему. Суго является игрой типа го на внеструктурном двумерном игровом пространстве. В этой игре игровой пункт в виде реальной физической точки возникает в игровом пространстве только в момент выполнения хода! В итоге вся партия является созданием структурированного точечного пространства буквально из небытия как бы в абсолютной космической пустоте. После чего древние восточные легенды о сотворении мира получают зримые образы в виде захватывающей игры. (Да и кто знает – не результатом ли чьей-то Большой игры являлось возникновение нашей Вселенной?)

Валентность каждого установленного камня (потенциально равная шести) будет формироваться узором игры, точнее - тем или иным выбором игроков. Следовательно, го - это лишь частный случай суго в тот момент, когда мы обозначили на чистой плоскости 361 фиксированную точку С ЗАДАННОЙ ВАЛЕНТНОСТЬЮ, но, как мы теперь понимаем, в суго нанесение линий в виде плоского каркаса не требуется: у нас УЖЕ есть несущий каркас в виде чистого листа бумаги. И на нём мы можем расположить все одномерные или двумерные точечные структуры безо всяких линий.

На этом заканчивается краткая характеристика общих свойств игровых структур. Классификация пространственных структурообразующих элементов (главным образом в диапазоне 0-8 валентностей) произведена в таблицах 2, 3, 4, 5, 7. Как и игровые структуры они подразделяются на 4 большие группы: точечные, линейные, плоскофигурные и объёмные. Далее классификацию СОЭЛ можно продолжить по их геометрической форме, валентности, по типу симметрии и способности образовывать непрерывные структуры – в Периодической таблице пространственных структурообразующих элементов (таблица 7).

Важной особенностью таблиц, классифицирующих СОЭЛ и образуемые ими структуры, является наличие в них правильных криволинейных плоских фигур (экзофигур) с минимальным количеством сторон и углов, а также наличие экзотел (объёмных СОЭЛ с криволинейными поверхностями). Этим вынужденным действием мы заполнили пустующие строки в таблицах плоскофигурных и объёмных СОЭЛ, так как планиметрия не знает плоских фигур с количеством сторон менее трёх и трёхмерных тел с количеством граней менее четырёх. (Более подробно свойства экзофигур и экзотел рассмотрены в 6-ой главе).

В таблицах кроме СОЭЛ изображены образуемые ими структуры и показана связь между свойствами СОЭЛ и указанных структур. Следует уточнить, что настоящая работа почти не рассматривает объёмные структуры по целому ряду причин. И прежде всего потому, что они многократно и всесторонне описаны в математических науках и естествознании. Цель работы состоит не в этом. Для нас гораздо важнее:

- проследить реликтовую предэволюцию СОЭЛ от геометрической точки до объёмных тел.

- выявить структурообразующие зоны в непрерывном ряду СОЭЛ, начиная с простейших, в пространствах трёх измерений.

- дать полную классификацию и общие свойства СОЭЛ.

- показать логическую связь между свойствами СОЭЛ и свойствами образуемых ими структур.

Другой причиной сжатого описания объёмных структур является почти полное их отсутствие в комбинаторно-стратегических играх. Многие авторы любят вскользь упомянуть об объёмных шахматах, но ни один из них не удосужился произвести для начала хотя бы раскраску их кубического игрового пространства, которое отнюдь не является двухцветным. (У меня она есть). Вот почему автор настоящей работы ограничивается в реальных примерах описанием лишь трёх своих вариантов трёхмерного го (Уэй-чи, вейчи). Всё, что касается шахмат, будет освещено в других главах этой книги. Нельзя, конечно, назвать случайностью тот факт, что мы не просто описывали возможно большее количество СОЭЛ, но и сознательно стремились расширить их диапазон. В итоге мы с запасом расширили диапазон СОЭЛ: в меньшую сторону –до нулевого предела, в большую – до способности СОЭЛ образовывать непрерывные полуправильные структуры (кроме тех, что описаны в таблице 6, являющейся лишь началом обширного перечня многогранников с возрастающим количеством граней). Разумеется, Лобачевский стоит впереди Евклида, он более обширен и универсален, вбирая в себя в зародыше множество других геометрий, содержащих в себе бездну новых знаний. Всё, что легко доступно нашему пониманию – это лишь внешняя оболочка истины.

К общим свойствам СОЭЛ относится их способность иметь определённую геометрическую форму, определённую валентность и категорию симметрии. Геометрическая форма СОЭЛ всегда сохраняется в образуемых ими правильных структурах. Однако не следует забывать, что в сложных неоднородных структурах вступает в силу комбинаторика: из одних и тех же наборов СОЭЛ можно собрать структуры с различными свойствами. Этот принцип широко используется и в самоорганизации материи, и в искусственных процессах. Но не в безграничных пределах: развитие многих наук убедило учёных, что в природе имеются законы, ограничивающие многообразие форм и регулирующих принципов.

Рассматривая приведённые ниже таблицы, описывающие классификацию и свойства СОЭЛ и образуемых ими структур, прежде всего мы отмечаем равенство валентностей СОЭЛ и соответствующих им структур: трёхвалентный элемент образует трёхвалентную структуру, четырёхвалентный - четырёхвалентную и т.д. Но это правило справедливо лишь для неограниченных правильных структур. Игровые пункты, расположенные по периметру ограниченных структур, теряют часть своих валентностей естественным образом. В итоге все игровые пространства в реальных играх имеют определённое процентное соотношение разно-валентных СОЭЛ, являющееся важнейшей характеристикой как игрового, так и физического пространства.

Второй обнаруженный эффект - совпадение видов симметрии СОЭЛ и образуемых ими структур. Им обладают, как правило, только элементы и структуры с чётной валентностью в диапазоне 2 - 4 - 6 (например, в линейных двумерных и плоскофигурных структурах). Таким образом, мы можем сказать, что свойства структур в известной степени формируются свойствами СОЭЛ. И поэтому для изучения свойств структур необходимо иметь полное представление о типах СОЭЛ и их эволюции. Именно этот принцип и был положен автором в основу теории игровых структур.

Что касается, к примеру, шахматных игровых пространств, то в них связь между элементами и структурой носит ярко выраженный функциональный характер. То есть зарождение основополагающего шахматного принципа (ОШП) происходит сначала в ячейке игрового поля, а затем его действие распространяется в структуру, где он и реализуется в полной мере, определяя такие важнейшие признаки шахматной игры, как ортогональное и диагональное направления игрового поля, метод раскраски шахматных структур, типы шахматных фигур и формы их взаимодействия. (А кто-то всё ещё полагает, что тот или иной объективный закон можно не открыть, а сочинить. Автор отнюдь не против изобретательства и сочинительства. Но иногда грустно видеть путаницу в головах).

Пьер Кюри отмечал, что симметрия среды как бы накладывается на симметрию тела, образующегося в этой среде [41 : 113]. Получившаяся в результате такого влияния форма тела сохраняет только те элементы своей собственной симметрии, которые совпадают с наложенными на нею элементами симметрии среды. (Причём по типу симметрии того или иного вещества можно предвидеть его физические свойства.) Мы описываем обратный процесс: влияние типа симметрии геометрического объекта на тип симметрии формируемой им структуры.

В дискуссии между "номогенетиками" и "селекционистами" в журнале "Природа" № 9 за 1979 год С.В. Мейен обронил интересную фразу: "Мы не знаем, какие факторы отбора создали 5 лепестков у цветка гусиной лапки и 4 лепестка у сурепки, 6 ног у насекомых и 8 ног у паукообразных". В сфере НКС-игр ситуация более утешительна. Мы уже знаем, сколько "лепестков" и "ног" у всех ортодоксальных шахматных фигур для каждой из 70-ти шахматных структур, описанных в Общей шахматной теории – у автора этой работы. Как знаем и формирующие их факторы. То же самое можно сказать и об остальных НКС-играх в более строгом описании в последующих главах.

Глава 2

ТОЧЕЧНЫЕ СТРУКТУРООБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СТРУКТУРЫ

Точечные игровые структуры в пространстве трёх измерений показаны в порядке возрастающей валентности (z) в таблице 1. В верхней части таблицы расположены точка, дуплет и триплет. Они совершенно идентичны для всех трёх типов пространств.

Точка, разумеется, не имеет никакой мерности. Здесь она представлена как исходный абсолют во всех измерениях.

Дуплет предполагает наличие двух рядом расположенных точек потенциальной одновалентности в виде хотя бы малейшего "интереса" друг к другу – или взаимозависимости в математическом или физическом смысле. Дуплет является простейшей структурой, состоящей из ограниченной пары точек.

Триплет можно определить как начало линейного множество точек, все внутренние точки которого имеют потенциальную двухвалентность. Здесь происходит зарождение непрерывных одномерных структур с явно выраженной дискретностью.

Вся горизонтальная строка триплетов окаймлена жирной чертой, потому что она является началом бесконечного ряда одномерных структур во всех трёх измерениях. Каждая из последующих структур этого ряда будет отличаться только количеством точек. При этом структуры будут расти от центральной точки сразу в оба конца. Формула роста такой простейшей структуры выглядит следующим образом:

Sn = l + 2(n – 1)

Формула роста для структур с чётным количеством точек будет иметь другой вид. В этом случае за центр структуры принимается условная точка на плоскости симметрии структуры, лежащая между двумя игровыми пунктами:

Sn = 2 + 2(n – l)

Далее представлено трёхвалентное компактное образование (триада) в форме правильного треугольника. На этом шаге эволюции был впервые создан прообраз простейшей правильной геометрической фигуры - ТРЕУГОЛЬНИКА. Причём в виде изолированного образования, а не как часть неограниченной правильной структуры из шестивалентной строки.

Затем ниже показан окаймлённый жирной чертой вертикальный ряд неограниченных структур с третью по шестую валентность.

Третье измерение пространства занимает два столбца таблицы. В первом из них в трёхвалентной строке изображён тетратет – простейшее локальное образование из трёхвалентных точек в трёхмерном пространстве.

Неограниченные трёхмерные структуры (также окаймлённые жирной чертой) представлены во втором столбце трёхмерных объектов. Указанные многогранники (как и тетраэдр) имеют такие же трёхвалентные вершины, но образованные ими непрерывные структуры будут иметь пяти-, шести- и восьмивалентные точки в их вершинах. Далее нельзя было не упомянуть широко известное образование в виде плотнейшей упаковки шаров, центры которых будут иметь 12-валентные точки.

Разумеется, предлагаемая таблица может быть легко дополнена большим количеством материала из различных областей знания, но теория игровых структур вовсе не является попыткой суммировать такой обширный материал. Наша задача - показать взаимосвязь простейших маловалентных структур в трёх типах пространств у истоков их зарождения и проследить их эволюцию вплоть до образования наиболее распространённых видов. Как правило – в маловалентном диапазоне.

Хорошо отражён смысл последовательной эволюции СОЭЛ у Карла Левитина: "Симплекс – это простейшая из всех возможных фигур... Одна точка – это нульмерный симплекс... Две точки определяют отрезок - одномерный симплекс... Третья точка превращает линию в треугольник - двумерный симплекс. Ещё точка – и вот перед нами пирамида, трёхмерный симплекс. Но вот добавлена пятая точка. Эта необычная конструкция состоит из пяти пирамид. Все вместе они отделяют четырёхмерный симплекс от остального четырёхмерного пространства точно так же, как шесть граней куба отделяют его от остального трёхмерного пространства, а три стороны треугольника ограничивают его на плоскости."

В кристаллографии хорошо известны (R,r)-системы Делоне, описывающие евклидово пространство как системы точек. Его геометрическая модель отображает наиболее общую закономерность расположения центров атомов в любом бесконечном атомном образовании.

Глава 3

ЛИНЕЙНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ СТРУКТУРООБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СТРУКТУРЫ

В таблице 2, охватывающей диапазон валентностей 0-6, показано образование двумерных линейных структур из линейных двумерных СОЭЛ, расположенных во втором столбце таблицы. Нульвалентный СОЭЛ является изолированной точкой. Одновалентный элемент состоит из точки и одного луча, выходящего из этой точки. С ростом валентности СОЭЛ растёт и количество лучей. Полученные в итоге звёздообразные плосколинейные структуры образуют полный ряд линейных двумерных СОЭЛ с последовательно возрастающей валентностью от 0 до 6. Образуемые СОЭЛ структуры изображены в 4-м столбце таблицы.

В 3-м и 5-м столбцах таблицы показаны индексы симметрии СОЭЛ и структур. Например, индекс L4 *4PC означает, что объект обладает поворотной симметрией четвёртого порядка, четырьмя плоскостями симметрии и центром симметрии. Таблица 2 демонстрирует хорошо прослеживаемое влияние геометрических свойств СОЭЛ на образуемые ими структуры, которые являются правильными. Но пятивалентная линейная структура удивительным образом избегает трансляции указанной симметрии от СОЭЛ к структуре. Она вообще феноменальна! То есть как бы имеет равномерно распределённую ярко выраженную внутриструктурную анизотропию, в результате которой индексы симметрии базовых СОЭЛ и образуемой ими структуры не совпадают. Во всех остальных строках они полностью совпадают. Это означает, что симметрия СОЭЛ в правильных структурах формирует симметрию и свойства этих структур.

Скорее всего, мы должны удивляться не нарушению трансляции симметрии в пятивалентной структуре, а тому, что она вообще смогла образоваться.

Глава 4

ЛИНЕЙНЫЕ ТРЁХМЕРНЫЕ СТРУКТУРООБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СТУКТУРЫ

В первых трёх строках таблицы 3 расположены маловалентные трёхмерные СОЭЛ, относящиеся, по сути, к безмерным и одномерным объектам, но без них таблица была бы неполной. Трёхвалентная линейная структура является первым видом трёхмерных линейных структур, но в НКС-играх она имеет плохие перспективы, чего нельзя сказать о структурах с 4-й по 6-ю валентность. Они легко образуют серию широко известных трёхмерных решёток, имеющих отличные перспективы в трёхмерном го. Что и было реализовано автором в виде "Пчелиного дома" (четырёхвалентное го на гексагональной решётке), "Цапли" (кубическое 5/4-валентное го), "Каркаса" (кубическое 5/6-валентное го).

В трёх последних строках таблицы расположены СОЭЛ и структуры 7-9 валентности. Они могут образовать двухслойные линейные структуры, которые, пожалуй, могут заинтересовать лишь технических специалистов.

Плосколинейные структуры, представленные в таблице 2, широко применяются в шашечных играх и играх типа го, но их применение в шахматных играх является результатом полнейшего непонимания объективных законов шахматной игры.

Глава 5

ПЛОСКОФИГУРНЫЕ СТРУКТУРООБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СТРУКТУРЫ

Таблица 4 иллюстрирует метод составления плоскофигурных мозаик из СОЭЛ с диапазоном валентности 0-8. Она включает полный перечень указанных элементов и образуемых ими структур с указанием их типов симметрии.

Три правильных мозаики на основе треугольника, квадрата и шестиугольника были известны ещё древним грекам, но они охватывают лишь незначительную часть полного диапазона плоскофигурных структур. На самом деле весь перечень плоских мозаик выражается четырёхзначным числом, окончательную величину которого математики и кристаллографы определили лишь в 1990 году! А до этого шёл процесс накопления фактов в одной из увлекательнейших областей знания - в геометрии, которая "в своей сущности и основе... есть пространственное воображение, пронизанное и oрганизованное строгой логикой" (А.Д. Александров).

За неимением места автор не даёт полного обзора публикаций на эту тему, начиная с той эпохи, когда Фалес и Пифагор перевели математику из разряда прикладных методов (в основном измерительных и счетных) в область математической теории, а применение дедуктивного метода в математике дало "Начала" Евклида (325 г. до н. э.), остававшиеся идеалом научной строгости 2 тысячи лет. При этом 5 книг из 13-ти почти полностью, как мы знаем, разработаны пифагорейцами, заложившими кроме этого основы учения о теории чисел, теории пропорций, начал стереометрии и математической теории музыки.

Далее хотелось бы упомянуть эпоху Возрождения, гениальные энциклопедисты которой завершили формирование научных методов мышления. Среди них – Галилей, Кардано, Бруно, Коперник, Тихо Браге, Кеплер, Дюрер, Леонардо да Винчи, Скалигер и другие имена. Все они, безусловно, с вершины нашей пирамиды знаний в чём-то кажутся более наивными, чем мы. Но нас до сих пор поражает их более целостное восприятие мира.

"В любом веществе заключено формообразующее начало", – прозорливо заметил Иоганн Кеплер в трактате "Новогодний подарок или О шестиугольных снежинках" (1611 г) – [27].

"Первым, кто увидел глубокую общность мозаик и многогранников, – пишет Карл Левитин, - был Иоганн Кеплер. Именно он предложил рассматривать плоскость, заполненную прилегающими друг к другу многоугольниками, как выродившийся многогранник и потому смог применить к ним одну и ту же общую теорию.".

И. Кеплер (1571 - 1630) – немецкий астроном, математик, астролог и писатель. Наряду с И. Коперником, Г. Галилеем, Р. Декартом, Р. Бойлем, Х. Гюйгенсом и И. Ньютоном был одним из создателей науки Нового времени, заложил основы теории тяготения, открыл законы движения планет (законы Кеплера) и составил планетарные таблицы. Кеплер знал греческий и древнееврейский языки, изучал риторику, поэзию, этику, философию, религию. Его образцы научно-художественной прозы были изданы московским издательством "Наука" в 1992 году в переводах с латинского Ю.А. Данилова. Сочинение И. Кеплера "О шестиугольных снежинках" явилось, по словам И. Шафрановского, "первым по времени кристаллографическим трактатом". Такого же мнения придерживался и В. Вернадский. Изучение Кеплером задач по определению вместимости винных бочек положило начало целому ряду исследований, приведших к созданию И. Ньютоном и Г. Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений. Кроме этого Кеплер составил таблицы логарифмов, которые в отличие от неперовских таблиц были более похожи на современные. Он также давал советы создателю первой вычислительной машины В. Шикарду, внёс большой вклад в теорию конических сечений, способствовал созданию проективной геометрии, впервые описал звёздчатые октаэдры и большой додекаэдр (Пифагор, как мы помним, впервые описал куб и спорил с Гиппасом за приоритет открытия додекаэдра, а Теэтет открыл октаэдр и икосаэдр). Но для большинства читателей Кеплер был предтечей великого британца Льюиса Кэрролла – одним из талантливейших популяризаторов математики и логики, чародея слова и короля парадоксов, стоящим в одном ряду с гениями научно-художественного мышления, начиная с Леонардо и Дюрера – и кончая Хессе и Эшером.

Книгу Вселенной, по словам Галилея, может читать лишь тот, кто сначала освоит её язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, а знаки её – треугольники, окружности и другие фигуры.То есть – сама геометрия мироздания. Вот почему учёные с такой настойчивостью продолжают развивать связанные с этой темой отрасли знания. В этой связи нельзя не упомянуть феноменальное достижение петербургского академика Е. Фёдорова (выпускника Горного института, в 16-летнем возрасте начавшего работать над своей первой монографией "Начала учения о фигурах") и А. Шенфлиса, одновременно получивших все возможные в пространстве 230 групп симметрии, определяющие собой всё разнообразие кристаллических форм в природе. При этом первый автор шёл к цели геометрическим путем, а второй использовал алгебраический аппарат теории групп. Фёдоровская группа – это лишь (по удачному выражению П. Зоркого) канва, по которой природа может вышивать бесконечно разнообразные узоры атомных расположений. Причём фёдоровские группы были открыты задолго до того, как учёные получили возможность изучать действительное расположение атомов в кристаллах!..А 17 видов симметрии плоских орнаментов впервые были описаны Евграфом Фёдоровым в работе "Симметрия на плоскости", опубликованной в Санкт-Петербурге еще в 1891 году. (Хотя многие из них давно были известны древним ремесленникам. Г. Вейль (1885 - 1955) справедливо указывает, что " искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики.") – [4 : 126].

Последовательное изложение главных событий в окончательном оформлении полной картины разбиений плоскости на мозаики дано у

Р. Галиулина. Особое место в этой цепи событий на наш взгляд занимает формулировка теоремы Шубникова-Лавеса, гласящей, что существует только 11 комбинаторно-различимых разбиений плоскости на одинаковые многоугольники (планигоны). При этом выяснилось, что правильные СОЭЛ в такой системе не могут иметь больше шести смежных соседей (в гексагональной структуре).

Для построения разбиений, дуальных к разбиению плоскости на одинаковые многоугольники (планигоны), достаточно взять по произвольной точке в каждом планигоне и точки, соответствующие смежным планигонам. Затем соединить их линиями, проходящими через соответствующие ребра. Многоугольники, составляющие эти разбиения, могут быть различными, но в каждой их вершине сходится одинаковое количество рёбер. Академик А. Шубников назвал эти сетки планатомными, так как он считал их полезными для изучения расположения атомов на гранях кристаллов. Эта теория Шубникова составляет значительную часть дискретной геометрии. На рис. 2 приведены некоторые планатомные сетки Шубникова с соответствующими им планигонами Дирихле.

Рис.2

В истории правильных разбиений плоскости произошло много событий. Например, Делоне нашел 46 сортов общих правильных разбиений плоскости, затем Грюнбаум и Шепард ввели более тонкую квалификацию правильных плоских узоров, чьи элементы симметрии действуют на составляющие его мотивы. Они показали, что на плоскости существует всего 52 различных типа правильных узоров из изолированных мотивов, ограниченных простыми замкнутыми кривыми.

Невозможно перечислить всех, кто внёс вклад в теорию мозаик: М. Эшер, Кершнер, Рейнхард, Джеймс III, Уилкокс, Шаттшнейдер, Райс, Стейн, Голомб, Конуэй, Берд, Хао Ван, Бишоп, Кларк, Харрис, Филпотт, Белл, Макмагон, Пенроуз, Робинсон… Это же так увлекательно!

Полная классификация 2-изовариантньх мозаичных размещений поверхности была представлена О. Дельгадо, Д. Хьюсоном и Е. Заморзаевой лишь в 1990 году ! Она охватывает 1270 типов размещений плоскости [22]. Размещения, разбиения – это расположения фигур в пространстве, которое одновременно является и упаковкой и покрытием. То есть фигуры не имеют общих внутренних точек и покрывают всё пространство. К ним относятся паркеты, мозаики – и непрерывные игровые структуры. (Должен выразить особую благодарность специалистам Горного института (университета) А.И.Глазову, П.Л. Дубову и А.И.Короткову, которые оказали мне неоценимую помощь в поиске работы О.Дельгадо, Д.Хьюсона и Е. Заморзаевой до её официальной публикации – и затем содействовали моему участию в традиционной Фёдоровской сессии, где я впервые сделал сообщение о многоцветных шахматных струкутрах).

Символ Шлефли {p,q} – двузначный индекс, характеризующий тип вершины правильного многогранника. Первое число указывает на количество углов в его грани, а второе – на количество таких граней в его вершине. При этом второе число ассоциируется со множителем. Символ {3, 5} можно прочесть как запись о том, что данная вершина содержит 5 треугольников: треугольников – пять. В развернутом виде множитель опускается: {3·3·3·3·3}. Именно развёрнутые символы удобны при сравнении многогранников с многоугольниками (см. таблицу 10).

Вполне понятно, что правильные пятиугольники, семиугольники и восьмиугольники непрерывных структур образовать не могут. Их нужно либо деформировать, либо дополнять другими СОЭЛ. Правильная фигура в качестве структурообразующего элемента должна иметь угол, который бы в сочетании с самим собой смог бы образовать 360 градусов. Если мы разделим 360 градус на простые числа, то мы получим лишь 3 подходящих многоугольника с углами в 120, 90 и 60 градусов. На рис. 3 сетки составлены из фигур с разными осями симметрии. Пятиугольники, семиугольники и восьмиугольники не могут примыкать друг к другу вплотную без зазоров [41 : 49].

Рис. 3

Первые три строки таблицы 4 поначалу были пусты. Поэтому возникла идея заполнить их некоторыми плоскими фигурами с минимальным количеством сторон и углов. На эту роль подошли так называемые экзофигуры – производные от простейшей геометрической фигуры (круга). После этого начало полного ряда плоскофигурных СОЭЛ стало выглядеть следующим образом: круг, одноугольник, двуугольник (чьи стороны и углы равны между собой).

Одноугольник и двуугольник являются переходными фигурами между кругом и треугольником.

Именно в этих фигурах происходит зарождение основополагающего шахматного принципа (ОШП), лежащего в основе общей шахматной теории.

Есть основание полагать, что именно в этих экзотических фигурах (как и в их трёхмерных аналогах) кроется немало интереснейших идей и находок в различных областях знания. Солнце… Земля… капля… купол храма… веретено… чёлн… глаз... Разве это случайные образования без глубочайшей рациональной красоты и гармонии? В них много тайны, символики – и в то же время реального волшебства физических законов. Примечательно, что двуугольники легко образуют правильную неприрывную структуру, в которой одноугольники могут выступать в роли периферийных игровых ячеек с уменьшенной валентностью.

При составлении структур неправильные многоугольники следует применять не только в неказистых пятивалентных и семивалентных структурах, где без них просто не обойтись. Как оказалось, не совсем правильные структуры вполне имеют право на существование даже в тех графах таблицы, где, казалось бы, безраздельно властвуют абсолютно правильные структуры. То есть полуправильные структуры легко заполняют весь диапазон таблицы. Тот, кто пытается игнорировать широкое распространение полуправильных структур, просто не в состоянии оценить реальную картину мироздания. И этот общий закон во всей полноте проявляет себя и в НКС-играх. Пора привыкать к мысли, что абсолютно правильные структуры – это не правило, а лишь исключение из правил.

Теперь ясно, каким образом нам удалось добиться того, что числа валентного ряда в таблице плоскофигурных элементов и образуемых ими структур представляют собой начало простого ряда чисел. Рассмотрим теперь в таблице 4 индексы симметрии СОЭЛ: все их цифровые значения полностью совпадают с номером валентности строки (кроме индексов дополнительных неправильных фигур и круга, который является абсолютом). В чётновалентных структурах (кроме 8-ой, которая не является однородной) наблюдается полное совпадение индексов симметрии СОЭЛ и структур (L·2PC, L4·4РС, L6·6РС). Тема квадрата (L4·4PC) явственно слышится не только в четырёхвалентной и восьмивалентной строках, но и в трёхвалентной строке (!), где 2 равнобедренных треугольника, как известно, легко складываются в квадрат.

А гексагональные мотивы (L6·6РС) продиктованы тем, что правильные треугольники легко складываются в ромб и шестиугольник (триогенная, ромбоидальная и гексагональная структуры).

Круг, разумеется, уникален во многих отношениях. И, безусловно, он является не только прародителем всех плоских фигур, но и их "жизненным" пределом. Вот их эволюционная судьба: от одноугольника до бесконечноугольника со сколь угодно большим числом сторон, почти неразличимым на глаз. Образованная кругом моноструктура состоит из одного круга. Следовательно, в первой строке таблицы такой СОЭЛ нульвалентен, но его потенциальная валентность, как мы знаем из курса планиметрии, может достигать шести. (Тут мы снова вторгаемся в теорию суго.) Примечательно, что первая в эволюционном ряду плоская структура не только состоит из простейших геометрических фигур, но и имеет в своем составе всего лишь одну такую фигуру. А в одновалентном ряду структура состоит уже из двух (и только двух) элементов, так как остальные прибавлять некуда: все валентности уже заняты. И лишь с третьей строки начинается образование бесконечных (в теории) структур, которые на практике имеют вполне определённые размеры. Такое "сотворение" структурного мира (от точки, от круга, от шара) математически и логически выглядит вполне обоснованным и вполне уместным: сей мир вовсе не начинается с треугольника и тетраэдра, он давно требует ясного изложения своей ПРЕДЭВОЛЮЦИИ, отражённой в теории игровых структур.

Итак, семейство плоскофигурных структур состоит из четырёх правильных (диогенная, триогенная, тетрагональная, гексагональная), восьми полуправильных и 1258-ти не совсем правильных 2-изовариант-ных структур. А неправильных мозаик – бесконечное множество.

Глава 6

ЭКЗОФИГУРЫ И ЭКЗОТЕЛА В РОЛИ СТРУКТУРООБРАЗУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПЛОСКОФИГУРНЫХ И ОБЪЁМНЫХ СТРУКТУР

Экзофигуры – это плоские криволинейные фигуры с минимальным количеством сторон и углов, построенные с помощью циркуля и линейки. Простейшая плоская правильная фигура (круг) является обязательным элементом для всех правильных экзофигур. Вторым составным элементом экзофигур, присоединяемым к исходному кругу, является плоский криволинейный равносторонний треугольник, (косынка), образованный на свободном пространстве между тремя равновеликими кругами при их плотнейшей упаковке (см. рис. 4 и таблицу 6).

Начало ряда экзофигур образовано кругом, одноугольником и двуугольником с возрастающей валентностью: 0 – 1 – 2.

Рис. 4

Свойства экзофигур

1. В любую экзофигуру вписывается круг.

2. Количество косынок у правильных экзофигур не может быть больше шести.

3. Все экзофигуры, построенные на оговоренных выше условиях, являются правильными фигурами – в том смысле, что они не содержат в себе неравных сторон и углов, а все их стороны представляют собой комбинацию кривых постоянного радиуса. У всех правильных экзофигур, имеющих углы, количество сторон равно количеству углов. Правильные экзофигуры способны образовать правильные трёхмерные экзотела. Вращая круг, мы получим шар. Вращая косынку, мы получим криволинейный конус с вогнутым днищем. Он будет похож на острый шип. Приставляя к шару шипы, начиная с одного, мы получим весь набор правильных экзотел, весьма похожий на семейство морских радиолярий.

3. Все экзофигуры участвуют в последовательном формировании основополагающего шахматного принципа (ОШП). Ладья впервые заявляет о себе в круге, слон – в одноугольнике, ферзь – в двуугольнике.

На рис. 5 изображена 1-я фаза ОШП. Здесь происходит зарождение ладьи с нефиксированным направлением движения.

На рис. 6 - 2-я фаза ОШП. Зарождение слона и фиксация направлений передвижения ладьи и слона.

На рис. 7 - 3-я фаза ОШП. Разделение направлений передвижения двух

базовых фигур. Зарождение первой производной фигуры – ферзя.

Рис. 5 Рис. 6 Рис.7

5. Только посредством экзофигур был расширен перечень элементно-правильных однородных структур. Теперь он выглядит следующим образом: диогенная, триогенная, тетрагональная и гексагональная структуры.

Присутствие описанных выше экзофигур в таблице 4 вполне очевидно. Вместе с неравносторонними пятиугольниками и семиугольниками они позволяют создать полный ряд плоскофигурных струтурообразующих элементов с валентностью от 0 до 8. И, таким образом, с исчерпывающей полнотой исследовать весь их диапазон.

Отдельного пояснения требует последняя строка таблицы 4. В неё помещён круг в активной фазе – в отличие от нульвалентного пассивного круга, помещённого в первой строке таблицы. Все возможные типы его валентности будут выглядеть так:

Рис. 8

Постулат об экзофигурах

В главном ряду правильных многоугольников имеют место правильные плоские криволинейные фигуры с наименьшим количеством сторон, не содержащих в себе неравных сторон и углов и описанных кривыми постоянного радиуса. Условимся называть такие фигуры экзофигурами. Их можно получить с помощью циркуля и линейки, комбинируя круг с криволинейными равносторонними треугольниками, образующимися на свободном пространстве между тремя кругами при их плотном касании. (См. рис. 4).

Экзотела – это трёхмерные криволинейные тела с минимальным количеством граней, рёбер и вершин. Правильные экзотела могут быть получены комбинациями двух тел вращения, образованными посредством вращения элементов правильных экзофигур. Полный перечень экзотел представлен в таблице 6а.

Первые три экзотела (шар, однополюсный моноэдр и двухполюсный моноэдр) имеют всего лишь по одной криволинейной грани, которая замкнута сама на себя в виде той или иной правильной сферы (мяч... капля... веретено). При этом первые два тела вообще не имеют рёбер, а последнее имеет его только в виртуальном виде. Его, оказывается, должен нарисовать (!) некоторый наблюдатель, соединив чертой две вершины веретена - и тем самым завершив создание этого странного тела. Таково свойство всех экзотел при количестве вершин у них более двух. Не поможет ли им геометрия экзотел подсказать ответы на некоторые загадки? И нет ли похожей систематизации простейших форм в более тонкой структуре материи?

1.    Персоналии
2.    История знаковых игр
3.    Наша игротека
4.    Головоломки, лингвистические игры
5.    Теория
6.    Прикладные аспекты
7.    Наши рецензии
8.    Журнал в журнале
9.    Другие статьи